Nació en Buga – Valle del Cauca , el 18 de octubre de 1861. Realizó sus estudios en su pueblo natal, y en los Seminarios de Popayán y Bogotá. Ordenado sacerdote por el Ilustrísimo Señor José Telésforo Paúl, arzobispo de Bogotá, el 8 de septiembre de 1885. Preconizado Obispo de Antioquia, por S.S. Pío X, el 18 de octubre de 1910. Recibió la consagración episcopal en Buga el 24 de febrero de 1911, durante seis años permaneció como Obispo de Antioquia. En 1915 fijó su residencia en Santa Rosa  y en 1917 al ser creada la diócesis de Santa Rosa es designado como su primer pastor.

Su labor pastoral en la diócesis fue muy eficaz:

• Gestor y promotor entusiasta de la creación de la diócesis.
• Ordenó 17 sacerdotes para el servicio pastoral de esta jurisdicción.
• Trajo de San Pedro el Seminario Menor unificando en un solo lugar ambos Seminarios Mayor y Menor, dotándolo de local para su funcionamiento adecuado.
• Creó siete parroquias.
• El 8 de junio de 1917 consagró solemnemente la Iglesia Catedral en honor de Santa Rosa de Lima.
• Convocó el Primer Sínodo Diocesano del 24 al 29 de septiembre de 1917.
• Organizó Administrativamente la Diócesis: Curia, Vicarías Foráneas.
• Varias cartas pastorales sobre diversos temas.
• Varias visitas pastorales a todas las parroquias.

En noviembre de 1923 fue nombrado Arzobispo de Popayán, donde tomó posesión el 9 de abril de 1924.

Murió en Palmira el 7 de noviembre de 1940.  Como testimonio de su amor por la ciudad de Santa Rosa legó su corazón.

Monseñor Crespo fue el promotor infatigable de la creación de la diócesis, por tanto le correspondió organizar en todos los campos la marcha de la naciente Iglesia particular, en una situación nada favorable: la escaséz de clero,  la lejanía e incomunicación de las parroquias, la pobreza en todos los órdenes de las comunidades, el clima ardiente y malsano de algunas regiones de su parcela. Estas circunstancias no menguaron su celo pastoral sino que por el contrario lo motivaron para trabajar intensamente en bien de las comunidades, valiéndose de los recursos que estaban a su alcance y de los métodos pastorales de la época; para santificar al pueblo realizó con entusiasmo la visita pastoral de todas las parroquias, dejando en los autos o actas de visitas, recomendaciones precisas acerca de la necesidad de cumplir los mandamientos de la Ley Divina,  hacer vida la fe, y celebrar digna y piadosamente los misterios de la salvación; además frecuentemente recomendó la necesidad de fomentar en el pueblo de Dios la participación dominical en la Eucaristía, la devoción al Sagrado Corazón de Jesús, la veneración a la  Santísima Virgen María, el rezo constante del Santo Rosario, el establecimiento en las parroquias de las cofradías y asociaciones piadosas que tanto bien hicieron en su época, como medios para vivir más intensamente la vida cristiana. Confirió el sacramento de la Confirmación a un número considerable de niños y además tuvo la alegría de ver enriquecido su presbiterio con diecisiete nuevos sacerdotes ordenados por él.

Fue un pastor preocupado por enseñar y predicar la Palabra de Dios a todos sus diocesanos; para tal fin escribió 24 cartas pastorales sobre variados temas importantes para la vivencia y profundización de la fe, además de un número considerable de cartas circulares que lo muestran como el maestro de la verdad, preocupado no sólo de la vida espiritual de su grey sino también de sus necesidades concretas como personas humanas.

El Seminario fue para él la pupila de sus ojos y el objeto de sus desvelos; fue de verdad el padre del Seminario, amplió el local del antiguo Seminario para juntar en un solo lugar tanto el Seminario Mayor como el Menor, que funcionaba en San Pedro; puso ambos Seminarios bajo la sabia y competente dirección de los Padres Eudistas.

Los sacerdotes también fueron objeto de su cuidado pastoral; los quería santos, bien formados e ilustrados, entregados sin reservas a su misión de curas de almas en situaciones difíciles. Este deseo de Monseñor Crespo se realizó, pues los sacerdotes formados por él sobresalen por estas características antes mencionadas: Padres Gerardo Martínez Madrigal (después Obispo de Garzón), Julio Tamayo Restrepo, Abigaíl Restrepo Vásquez, Manuel Salvador Restrepo Palacios, Jesús María Urrea Sánchez, Pedro Mesa Calderón, Alberto María Yepes Yepes y José Martín Múnera Tobón,  por citar  sólo algunos de estos titanes de la misión y la evangelización.

Para una mejor atención espiritual de las comunidades erigió siete nuevas parroquias, como centros de evangelización y promoción humana. Consagró la Iglesia Catedral en honor de Santa Rosa de Lima el 8 de junio de 1917.

La muestra más evidente de su labor pastoral en la diócesis fue la realización del Primer Sínodo del 24 al 29 de septiembre de 1917. El Papa Benedicto XV acababa de promulgar el Código de Derecho Canónico para toda la Iglesia, y Monseñor Crespo,  por medio del Sínodo Diocesano, adaptó la legislación universal a la situación concreta de la diócesis; como fruto de este Sínodo quedaron las Constituciones Sinodales que regularon la vida pastoral, organizativa y disciplinaria de la diócesis por largos años.

También ocuparon un lugar muy importante en su corazón de pastor las comunidades religiosas a las que siempre acogió con bondad y solicitud. Fue el gran protector de la Beata Madre Laura Montoya Upegui; admirador de su carisma misionero, la apoyó decididamente y como muestra de ello le dio a su comunidad de Misioneras de María Inmaculada y Santa Catalina de Siena el decreto de Congregación de derecho diocesano.

Además durante su episcopado se establecieron en la diócesis las Hermanas Terciarias Capuchinas, Clarisas,  Salesianas, Betlemitas, y  los Hermanos de las Escuelas Cristianas.

Después de siete fructíferos años de episcopado fue traslado como arzobispo a Popayán en el departamento del Cauca. Amó entrañablemente esta diócesis a la que vio nacer y dar los primeros pasos, la que fue objeto de su constante preocupación pastoral y celo misionero y, como muestra perenne de este amor, al morir quiso dejarnos su corazón de pastor como legado de amor.